A Beleza da Matemática

Em homenagem à Matemática Brasileira que está de parabéns com a medalha Fields recebida pelo Artur Ávila Cordeiro de Melo, nos juntamos nessa celebração falando da Poesia e beleza da Matemática.

Da Complexidade e Sistemas Dinâmicos

Os fenômenos naturais, os sistemas biológicos e comportamentais da bolsa de valores são altamente complexos. A física vem tratando com fenômenos complexos e não lineares desde o final do século XX. Uma revolução iniciada por Poincaré que foi continuada por Birkhoff, Kolmogorov, Smale e outros. Complexo vem do latim complexus, e significa o que se encontra tecido conjuntamente, ou estar abarcados juntos. Uma característica dos sistemas complexos é a sua capacidade de auto-organização, com a criação espontânea de uma ordem a partir da desordem. A auto-organização é basicamente um processo de evolução no qual o desenvolvimento de estruturas novas e complexas acontecem no sistema tanto por conta das interações entres as partes quanto por influencia do ambiente onde se insere. Com relação ao nosso planeta Terra, por exemplo, existem diversos fatores que interferem no sistema complexo global. Fatores tais como demografia, economia, religiosidade, escolaridade e política estão relacionados. Os fractais, a caminhada do bêbedo ( Randon Walk ), a teoria do caos fazem parte desse grupo de fenômenos não-lineares. Uma característica desses fenômenos é a governabilidade por uma lei de escala ou de potencia. Os fractais – do latim fractus – do verbo frangere – que significa quebrar. Fração, quebrado, é um objeto que tem uma dimensão fracionária. Todo objeto que apresenta auto-similaridade sobre vários graus de ampliação é um fractal. Possuindo simetria por mudança de escala, com cada pequena parte do objeto repetindo a estrutura do todo. Numa pequena folha de samambaia estar o todo. A Geometria fractal tem aplicações na Ciência, Tecnologia e Arte gerada por computador. A física já foi utilizada para estudar o comportamento da bolsa de valores numa área que nos últimos tempos tem se desenvolvido bastante – “a econofísica”. Um dos aspectos que se observa nesses novos fenômenos é o comportamento caótico determinístico que pode ser observado em sistemas com pelos menos três graus de liberdade. Esses sistemas caóticos são extremamente sensíveis ás condições inicias. O estudo das rotas possíveis para o caos tem suas raízes no estudo de equações diferenciais determinísticas (teoria de bifurcação) e constitui a chamada teoria da geometria do caos. Sistemas dinâmicos dotados de regime transiente muito longo podem nunca atingir o estado estacionário. O estado atual do sistema não depende um passado finito, mais de todos os passados desde o estado inicial. Muitos fenômenos da natureza são críticos. Ou seja, são sistemas longe das condições de equilíbrio, em processos de memórias longas. Fenômenos naturais como os terremotos, formação de nuvens e outros são altamente complexos. Concordo com Morin de que existe uma interdisciplinaridade entre as várias áreas do saber humano e que a compartimentalização desse saber com conhecimentos estanques leva a um atrofiamento do cérebro que levará a humanidade para um abismo com conseqüências desastrosas num mundo formada de “mentes míopes”

Ruído Branco

A presença do ruído é um dos maiores quebra cabeças da física contemporânea. Desde as primeiras observações realizadas por Johnson, processos de memória longa com termos longos de correlação têm sidos observados em muitos sistemas da física, tecnologia, biologia, astrofísica, geofísica e sociologia. Recentemente também foi descoberto ruído branco no conhecimento humano e na distribuição dos números primos. O ruído branco é um tipo de ruído que é produzido pela combinação de todas as freqüências de sons juntas. Seu nome deriva da analogia com a luz branca, que é uma combinação de todas as cores.

A Poesia da Matemática

Pelo teorema de Noether, para cada simetria existe uma lei de conservação da física e vice-versa”. a invariância de sistemas físicos no que diz respeito à translação espacial implica a conservação da quantidade de movimento, ou Momentum linear . A uniformidade temporal está relacionada com a conservação da energia. A razão áurea pode ser observada na obra de Leonardo da Vinci. Nesse trabalho estudamos a relação da poesia e a obra de arte com a matemática. A matemática está presente na Máquina do Mundo de Camões, assim como no universo do poeta Dante. O modelo do Universo de Camões é Ptolomáico com algumas modificações. Numa rara coincidência de imaginação poética e matemática, o poeta Dante (séc. XIII) chegou a conceber uma visão de do universo que tinha notáveis semelhanças com o universo do grande matemático Bernhard Riemann (séc. XIX). Riemann, filho de um ministro protestante, inventou uma geometria não euclidiana que podia ser aplicada a um espaço curvo com três ou mais dimensões. Essa geometria foi muito importante no desenvolvimento da matemática e da física moderna. Na divina comédia, Dante descreve o seu universo formado de duas partes. Um delas, tem a Terra no centro, em torno da qual giram as esferas da Lua, do Sol, dos vários planetas e das estrelas fixas. A esfera exterior, que envolve todo o universo visível, se chama “Primum Mobile” ( nono céu). O que se encontra além dessa esfera é o “Empíreo”, que Dante representa por outra esfera, com várias ordens de anjos dando voltas em esferas concêntricas ao redor de um ponto central que irradia uma luz muito intensa, quase segadoras. O poeta, partindo da superfície terrestre, percorre, conduzido por Beatriz, as diversas esferas do universo visível até chegar ao “Primum Mobile”. Observador ( Dante): Dante volve o olhar para Beatriz, que estava atrás dele; depois ele olha para a frente e vê um ponto brilhantíssimo em torno do qual se movem nove círculos de luz ( nove círculos angélicos), que giram mais rapidamente e são mais brilhantes quanto mais próximos estão dele. Neste ponto, Dante observa dentro da esfera do empíreo. Como não existe nenhum ponto privilegiado do “Primum Mobile”, presumidamente, de qualquer ponto que se observa vê-se o interior do Empíreo. Dito de outra forma, poderíamos considerar o empíreo rodeando o universo visível e ao mesmo tempo, também, adjacente a ele. Qualquer círculo traçado do empíreo pertence à superfície esférica Riemanniana. Se este for o caso, o universo concebido por Dante, é exatamente o que concebeu Riemann. A forma do universo Dante – Riemann, é o que os matemáticos chamam espaço esférico ou hiperesfera. É uma esfera comum, transportada para uma dimensão maior. Mais uma vez a arte e ciência se unem num canto à beleza e perfeição do universo.

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